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大學(xué)試題

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問答題 利用矩陣的初等行變換求下列矩陣的列向量組的秩及一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示：

1.問答題 設(shè)A為n階實對稱矩陣，r（A）=n，若A_ij是A=（a_ij）中元素a_ij的代數(shù)余子式（i，j=1，2，…，n），二次型。二次型g（x）=x^TAx與f（x）的規(guī)范形是否相同？說明理由。

2.問答題 設(shè)A為n階實對稱矩陣，r（A）=n，若A_ij是A=（a_ij）中元素a_ij的代數(shù)余子式（i，j=1，2，…，n），二次型。記x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，試將f（x₁，x₂，…，x_n）寫成矩陣形式，并求二次型f（x）的矩陣。

3.問答題設(shè)A為m×n矩陣，已知B=tI+A^TA。證明：當t>0時，矩陣B為正定矩陣。

4.問答題設(shè)A為n階實對稱矩陣，且A的行列式|A|<0.證明：存在n維向量x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，使得x^TAx<0。

5.問答題 設(shè)二次型f（x₁，x₂，x₃）=的秩為2，求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。